Der Banzhaf’sche Machtindex

Der Banzhaf-Index ist eine Kennzahl, mit der die politische Macht jedes einzelnen Mitglieds eines Abstimmsystems gemessen wird. Ein Mitglied eines Abstimmsystems ist beispielsweise eine Partei in einem Parlament oder ein Staat in einem Staatenbund. Im allgemeinen wird jedes Mitglied eines solchen Abstimmsystems eine unterschiedliche Anzahl von Stimmen haben, so dass entsprechend die politische Macht unterschiedlich sein wird.

Der Banzhaf-Index wird letztlich durch einfaches Abzählen bestimmt: Für jedes Mitglied werden alle kombinatorisch möglichen gewinnenden Koalitionen gezählt, an denen es beteiligt ist. Eine Koalition wird dabei allerdings nur mit gezählt, wenn für sie das Mitglied wesentlich ist, d.h. wenn sie schon nicht mehr gewinnend ist, sobald das Mitglied sie verlässt. Nehmen wir den einfachen Fall eines Parlaments mit drei Parteien A, B und C und der folgenden Sitzverteilung an.

Offensichtlich kann die Mehrheit von 51 Stimmen nur durch eine Koalition erreicht werden, keine Partei kann allein regieren. Der Banzhaf-Index errechnet sich durch einfaches Abzählen:

• A ist in drei gewinnenden Koalitionen: AB, AC und ABC
• B ist in einer gewinnenden Koalition: AB
• C ist in einer gewinnenden Koalition: AC

Jede dieser aufgezählten Koalitionen enthält die jeweilige Partei als wesentlichen Koalitionspartner, sie wäre ohne sie nicht mehr gewinnend. (Beachten Sie, dass A für die Koalition ABC wesentlich ist, aber B und C jeweils nicht!) Die "Banzhaf-Macht" von A ist somit 3, während die von B und C jeweils 1 ist. Dies ergibt die "gesamte Banzhaf-Macht", oder auch "Penrose-Zahl", von 3+1+1 = 5. Der Banzhaf-Index ist dann genau die "normalisierte" Banzhaf-Macht:

Auf den ersten Blick überraschend: Aus Sicht der Banzhaf-Macht ist B nicht mächtiger als C, obwohl B viel mehr Stimmen hat!

Die Situation kann verallgemeinert werden auf den Fall, in dem die bloße Stimmenmehrheit nicht ausreicht, um eine gewinnende Koalition zu ergeben, sondern in dem eine vorgegebene Stimmenquote erreicht werden muss (beispielsweise eine 2/3-Mehrheit). Manchmal muss sogar eine weitere Stimmenquote erfüllt werden, abhängig von äußeren Faktoren wie die Bevölkerungszahl des sie vertretenden Staates oder ein Vetorecht für bestimmte Mitglieder. Beispiele sind der Europarat oder der Sicherheitsrat der UNO.

Für weitere Details, siehe beispielsweise:

• Alan D. Taylor (1995): Mathematics and Politics. Strategy, Voting, Power and Proof. Springer-Verlag New York Berlin
• Werner Kirsch et al.: Double Majority and Generalized Brexit: Explaining Counterintuitive Results, arxiv:1812.07048

Einige Ergebnisse verschiedener Szenarien für den Rat der Europäischen Union (z.B. Verträge von Nizza und Lissabon, mit oder ohne Großbritannien ...) sind hier dokumentiert: Banzhaf_Council-EU.xls

Software. Du kannst eine Java-Applikation Banzhaf.jar herunterladen, die die Banzhaf-Indizes eines Abstimmungssystems mit verschiedenen Stimmgewichten und Abstimmungsquoten berechnet. Erforderlich ist eine Java Runtime Environment ≥ Version 14. Starte das Program mit der Kommandozeile java -jar Banzhaf.jar.

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